mark.spivakovsky@math.univ-toulouse.frLa última afirmación geométrica de Jacobi, demostrada rigurosamente en 2004, dice que la cáustica de la familia de geodésicas que emanan de un punto general de un elipsoide tiene exactamente cuatro cúspides y ninguna otra singularidad. En esta conferencia hablaremos de la versión billar de la última afirmación geométrica de Jacobi y sus generalizaciones. Dado un punto no focal $O$ dentro de una mesa de billar elíptica, consideramos la familia de rayos emanando desde $O$ y la cáustica $\Gamma_n$ de la familia reflejada por la elipse $n$ veces, para cada entero positivo $n$. Se sabe que $\Gamma_n$ tiene por lo menos cuatro cúspides. Se conjetura que tiene exactamente cuatro cúspides ordinarias y ninguna otra singularidad. Hablaremos de nuestra demostración de esta conjetura en el caso particular cuando la elipse es un círculo. En el caso de una elipse arbitraria describimos explícitamente la ubicación de las cuatro cúspides de $\Gamma_n$ pero sin demostrar que estas son las únicas cúspides y las únicas singularidades de $\Gamma_n$.
Trabajo en colaboración con Gil Bor (CIMAT, México), Serge Tabachnikov (Penn State) y Stepan Orevkov (Institut de Mathématiques de Toulouse).