mark.spivakovsky@math.univ-toulouse.fr
Sean $k$ un cuerpo de característica cero, $d$ un entero estrictamente positivo y $x$ una variable independiente. Sea $f\in k[x]$ un polinomio mónico de grado $d$. Para $i\in{1,\dots,d-1}$, sea $f^{(i)}$ la $i$-ésima derivada de $f$. Supongamos que para todo $i\in{1,\ldots,d-1}$ el polinomio $f^{(i)}$ tiene un factor común no constante con $f$. La conjetura de Casas Alvero predice que, bajo estas hipótesis, existe $b\in k$ tal que $f(x)=(x-b)^d$.
Sean $f=x^d+a_1x^{d-1}+\cdots+a_1x \in K[a_1,\ldots,a_{d-1}][x]$ y $R_i: = Res\left(f,f^{(i)}\right)\in K[a_1,\ldots,a_{d-1}]$ la resultante de $f$ y $f^{(i)}$, $i \in {1,\ldots,d-1}$. La conjetura de Casas Alvero equivale a decir que $R_1,\ldots,R_{d-1}$ son ``independientes'' en un cierto sentido, a saber, $$\text{ht}(R_1,\ldots,R_{d-1})=d-1$$ en $K[a_1,\ldots,a_{d-1}]$.
En esta conferencia hablaremos de la demostración reciente de esta conjetura por Soham Ghosh, un estudiante de doctorado de la Universidad de Washington en los Estados Unidos. Trataremos de destacar algunas de las ideas principales de su demostración pero sin entrar excesivamente en los detalles técnicos.
Posiblemente hablaremos de otro ángulo de ataque de la conjetura de Casas Alvero, el que había sido el más exitoso hasta el año pasado, que consiste en traspasar el problema a característica positiva.