felix.barilboudreau@uni.lu
Gracias a las conjeturas de Weil, muchas funciones $L$ de ciertas variedades $X$ definidas sobre cuerpos de característica $p$ son racionales. Además, se pueden expresar como productos alternados de polinomios característicos de Frobenius actuando sobre grupos de cohomología étale donde cada uno tiene coeficientes enteros. Por ejemplo, si $X$ es la jacobiana de una curva ``buena'', entonces la reducción del numerador módulo un primo $\ell$ diferente de $p$ de su función zeta es el polinomio característico del Frobenius actuando sobre la $\ell$-torsión de $X$.
La función $L$ de una curva elíptica $X$ no isotrivial sobre un cuerpo de funciones globales es un polinomio característico de Frobenius. La reducción módulo $\ell$ de esta función también lo es, como demostraremos. Hablaré de un trabajo en curso donde quiero entender más profundamente esta reducción y eso me lleva a descomponer ciertos grupos de cohomología étale, torsiones de variedades abelianas y representaciones.