mark.spivakovsky@math.univ-toulouse.fr
Sean $k$ un cuerpo de característica cero, $d$ un número entero estrictamente positivo y $x$ una variable independiente. Sea $f\in k[x]$ un polinomio mónico de grado $d$. Para $i\in{1,\dots,d-1}$, sea $f^{(i)}$ la $i$-ésima derivada de $f$. Supongamos que para todo $i\in{1,\dots,d-1}$ el polinomio $f^{(i)}$ tiene un factor común no constante con $f$. La conjetura de Casas Alvero dice que, bajo estas hipótesis, existe un $b\in k$ tal que $f(x)=(x-b)^d$. Sean $f=x^d+a_1x^{d-1}+\cdots+a_1x \in K[a_1,\ldots,a_{d-1}][x]$ y $R_i: = Res\left(f,f^{(i)}\right)\in K[a_1,\ldots,a_{d-1}]$ la resultante de $f$ y $f^{(i)}$, $i \in {1,\ldots,d-1}$. La conjetura de Casas Alvero equivale a decir que $R_1,\ldots,R_{d-1}$ son ``independientes'' en un cierto sentido, a saber, la altura del ideal $(R_1,\ldots,R_{d-1})$ de $K[a_1,\ldots,a_{d-1}]$ es $d-1$. En esta conferencia se demostrará un resultado parcial en esta dirección: si $i \in {d-1,d-2,d-3}$ entonces $R_i \notin\sqrt{(R_1,\ldots,\breve{R_i},\ldots,R_{d-1})}$.