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Gauss introdujo las hoy conocidas como sumas de Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae en 1801, en la forma $$ \sum_{k=0}^{p-1}\exp\left(\frac{2\pi i m k^2}{p}\right) $$ (donde $p$ es un primo) llegando a calcular más tarde su valor exacto. Estas sumas las usó, por ejemplo, para una de sus múltiples demostraciones del teorema de reciprocidad cuadrática. Esta suma puede reescribirse en función del símbolo de Legendre como $$ \sum_{k=0}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\exp\left(\frac{2\pi i mk}{p}\right). $$ Dirichlet, en su estudio de la distribución de primos en progresiones aritméticas, generalizó esta fórmula sustituyendo el símbolo de Legendre por un carácter multiplicativo arbitrario $\chi$, definiendo así las sumas de Gauss $G(m,\chi)$. Hoy día, estas sumas tienen múltiples aplicaciones en Teoría de Números.
Es fácil ver que, si $\chi$ no es trivial, la suma de Gauss $G(m,\chi)$ tiene valor absoluto $\sqrt{p}$. En esta charla discutiremos dos cuestiones fundamentales sobre estas sumas: ¿Cómo se distribuyen, para todos los posibles valores de $\chi$, dentro de la circunferencia de radio $\sqrt{p}$? Y, ¿qué relaciones hay entre las sumas de Gauss asociadas a distintos caracteres $\chi$? La charla pretende ser accesible para todo tipo de público y no se asumirá ningún conocimiento previo sobre Teoría de Números.