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Dada una variedad algebraica (lisa y proyectiva), definida sobre un cuerpo de números $K$, podemos asociarle, para cada número primo $\ell$, una representación de Galois $$ \rho _ {\ell}: \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)\rightarrow \mathrm{GL} _ {\mathbb{Q} _ {\ell}}(V), $$ donde $V$ es un $\mathbb{Q} _ {\ell}$-espacio vectorial de dimensión finita. El tipo de reducción de la variedad en un primo $\mathfrak{p}$ de $K$ se ve reflejado en la restricción de $\rho _ {\ell}$ al grupo de descomposición en $\mathfrak{p}$, que es isomorfo al grupo de Galois absoluto de la completación $K _ \mathfrak{p}$ de $K$ en $\mathfrak{p}$.
Cuando $\ell=p$ divide a $\mathfrak{p}$, la teoría de Fontaine clasifica las representaciones de Galois de $\mathrm{Gal}(\overline{K} _ {\mathfrak{p}}/K _ {\mathfrak{p}})$ en $\mathrm{GL} _ {\mathbb{Q} _ p}(V)$, proporcionando una jerarquía entre ellas (cristalina, semi-estable, potencialmente semi-estable, de Rham, Hodge-Tate). El teorema de monodromía $p$-ádico afirma que una tal representación es de de Rham si y sólo si es potencialmente semi-estable.
La demostración de este teorema conecta la teoría de Fontaine con la teoría de las ecuaciones diferenciales $p$-ádicas. Berger demuestra que el teorema de monodromía se deduce a partir de la conjetura de Crew (que es un teorema gracias a Mebkhout, André y Kedlaya), que afirma que todo módulo diferencial sobre el anillo de Robba, dotado de una estructura de Frobenius, es casi unipotente.
En esta charla presentaremos estos conceptos, iniciando de esta forma un grupo de trabajo con el objetivo de comprender mejor la conexión entre la teoría de las representaciones de Galois p-ádicas y la teoría de las ecuaciones diferenciales p-ádicas.