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Sea $\iota:K\hookrightarrow L=K(x)$ una extensión simple de cuerpos valorados. Notemos por $\nu$ la valoración dada sobre $L$ así como su restricción a $K$. La noción de polynomios clave para la extensión $\iota$ fue introducida por Saunders MacLane en los años mil novecientos treinta en el caso particular cuando $\nu|_K$ es una valoración discreta de rango uno. El caso de extensiones simples de cuerpos valorados con $(K,\nu)$ arbitrario fue estudiado mucho más tarde por Michel Vaquié e, independientemente, por F.J. Herrera Govantes, W. Mahboub, M.A. Olalla Acosta y M. Spivakovsky. Recientemente encontramos una gran simplificación en nuestra forma de presentar la teoría de polynomios clave, al menos la parte de ella con aplicaciones al estudio del Teorema de Uniformización Local.
El problema de resolución de singularidades es el problema de construir, para toda variedad agebraica $X$, una variedad algebraica no singular $X'$ y un morfismo propio $X'\rightarrow X$ que induce isomorfismo sobre el lugar no singular de $X$. Si cubrimos $X'$ por cartas afines, el problema se convierte en uno de parametrización de trozos de $X$ por pequeños trozos del espacio Euclidiano $k^n$. Algebraicamente, esta version localizada del problema puede ser interpretada de la siguiente manera. Sea $R$ una $k$-algebra de tipo finito sin divisores de cero. Sea $R_\nu$ un anillo de valoración que contiene $R$ tiene el mismo cuerpo de fracciones que $R$. El problema es encontrar una $k$-algebra $R'$ lisa y de tipo finito tal que $R\subset R'\subset R_\nu$. La existencia de una tal $R'$ se conoce como Teorema de Uniformización Local; es un teorema de Zariski cuando $car\ k=0$ y es un importante problema abierto cuando $car\ k=p>0$.
En esta conferencia recordaremos la (nueva) definición de polinomios clave y algunas de sus principales propiedades. Luego procederemos a explicar las aplicaciones al problema de Uniformización Local en característica positiva.