Seminar of Algebra

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Funciones generatrices y vectores de Frobenius de semigrupos afines intersección completa

Speaker:
Pedro A. García Sánchez (Universidad de Granada)
Email:
pedro@ugr.es
Location:
Departamento de Álgebra
Date:
Fri, 21 mar 2014 10:30
Pedro García es Profesor Titular del Departamento de Álgebra de la Universidad de Granada

Dado un submonoide $S$ de $\mathbb N^k$, podemos definir su función generatriz (o su serie de Hilbert) como $H_S(x)=\sum_{s\in S} x^s$ (donde $x^s=x_1^{s_1}\cdots x_k^{s_k}\in K[x_1,\ldots, x_k]$, con $s=(s_1,\ldots, s_k)$ y $k$ un cuerpo). Veremos que esta función se comporta bien para pegadas, lo que nos permite describirla completamente en el caso de semigrupos afines intersección completa. Si $S=\langle n_1,\ldots,n_e\rangle$, entonces $K_(x)=\prod_{i=1}^e (1-x^{n_i})H_S(x)$ es un polinomio. Repasaremos algunas de sus propiedades en el caso de semigrupos numéricos, y veremos que en el caso de intersecciones completas, tienen todas sus raíces en el círculo unidad (son polinomios de Kronecker).

Para $S\subset \mathbb N^k$, decimos que $f$ es un vector de Frobenius para $S$ si $f+(relint(cone(S))\cap G(S))\subseteq S\setminus{0}$, donde $cone(S)$ y $G(S)$ son el cono y grupo generados por $S$, respectivamente, y $relint(cone(S))$ es el interior (relativo) del cono de $S$. Esta definición generaliza el concepto de número de Frobenius para un semigrupo numérico. Veremos que se comporta bien para pegadas, de ahí deducimos que todo semigrupo afín intersección completa tiene un único vector de Frobenius minimal respecto del orden inducido por $cone(S)$. De hecho, el vector de Frobenius no es más que el grado de $K_S(x)$ menos la suma de los generadores del semigrupo, generalizando así la fórmula de Delorme para conductores de semigrupos numéricos intersección completa.

Trabajo conjunto con A. Assi, A. Ciolan, I. Ojeda y P. Moree.