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La conjetura de Hartshorne afirma que una variedad proyectiva compleja lisa de codimension suficientemente baja debe ser intersección completa (esto es, debe estar definida por tantas ecuaciones como su codimensión).
Por otra parte es conocido que la cohomología de una variedad proyectiva compleja lisa tiene una estructura muy rica (descomposiciones de Hodge y Lefschetz).
Si uno se fija en los grupos de cohomología de dimensión distinta a la dimensión compleja de la variedad, resultados clásicos de Lefschetz y Barth indican que las cohomologías de variedades de codimensión baja y de intersecciones completas se comportan del mismo modo. Esto puede verse como una evidencia de la conjetura de Hartshorne.
Recientemente hemos encontrado un invariante que se construye a partir del grupo de cohomología de dimensión igual a la dimensión de la variedad, que se anula tanto cuando la variedad es una intersección completa, como cuando la variedad es de codimensión suficientemente baja. Esto da aún mas evidencia de la conjetura de Hartshorne, y quizá un modo de aproximarse a ella.
En la charla introduciré los ingredientes necesarios para enunciar los Teoremas mencionados, y explicaré en que consiste el nuevo invariante.
Acknowledgment: This research is supported by ERCEA 615655 NMST Consolidator Grant, MINECO by the project reference MTM2013-45710-C2-2-P and also by the Basque Government through the BERC 2014-2017 program and by Spanish Ministry of Economy and Competitiveness MINECO: BCAM Severo Ochoa excellence accreditation SEV-2013-0323.